Circunferência Trigonométrica

Produzido por: Cáio Cézar, Érika Souza, Jaqueline Sá Teles, Nara Souza e Paulo Henrique

CONCEITO/EXPLICAÇÕES

A circunferência trigonométrica ou ciclo trigonométrico é de extrema importância para o estudo da Trigonometria, pois é baseado nela que todos os teoremas são deduzidos. Trata-se de uma circunferência com centro na origem (O) do sistema de eixos coordenados e de raio 1.

Os eixos dividem a circunferência em quatro partes congruentes, denominadas quadrantes. Convenciona-se que, o sentido anti-horário é o sentido positivo na circunferência trigonométrica, a partir de um ponto fixo (A), como é mostrado na figura abaixo:

Ø A extremidade de um arco , localizado no primeiro quadrante (I), satisfaz à seguinte desigualdade:

0º < α < 90º

Ø A extremidade de um arco , localizado no segundo quadrante (II), satisfaz à seguinte desigualdade:

90º < α < 180º

Ø A extremidade de um arco , localizado no terceiro quadrante (III), satisfaz à seguinte desigualdade:

180º < α < 270º

Ø A extremidade de um arco , localizado no quarto quadrante (IV), satisfaz à seguinte desigualdade:

270º < α < 360º

Esquematizando, temos:

Quando dois arcos diferentes terminam na mesma posição da circunferência trigonométrica, dizemos que esses arcos são arcos côngruos.

Dizemos que 3/p rad  7p/3 rad são arcos côngruos, pois suas extremidades coincidem na circunferência trigonométrica. (420º:360º deixa resto 60º ).

Assim, podemos ver que qualquer arco α é côngruo com outros infinitos arcos definidos pela soma de α com múltiplos de 2p, ou seja, se estamos sobre o arco β e andamos mais 2p sobre a circunferência voltamos para a mesma posição e assim sucessivamente. Desse modo, podemos escrever que qualquer arco côngruo de α é da forma:

AB = α + 2kp, com α ∈ Z

Expressão usada para todos os arcos côngruos a α.

Ø K é o número de voltas, também indica o sentido (negativo ou positivo) do giro.

Ø α é a primeira (menor) determinação não negativa ou até mesmo positiva de um arco.

Arcos de uma Circunferência

Ø  Se um ponto móvel em uma circunferência partir de A e parar em M, ele descreve um arco AM. O ponto A é a origem do arco e M é a extremidade do arco.

Ø  Quando escolhemos um dos sentidos de percurso, o arco é denominado arco orientado e simplesmente pode ser denotado por AB se o sentido de percurso for de A para B e BA quando o sentido de percurso for de B para A.

Ø  Quando não consideramos a orientação dos arcos formados por dois pontos A e B sobre uma circunferência, temos dois arcos não orientados sendo A e B as suas extremidades.

Medida de um arco

Ø  A medida de um arco de circunferência é feita por comparação com um outro arco da mesma circunferência tomado como a unidade de arco. Se u for um arco de comprimento unitário (igual a 1), a medida do arco AB, é o número de vezes que o arco u cabe no arco AB.

Ø  Na figura abaixo pode- se observar que, a medida do arco AB é 5 vezes a medida do arco u. Denotando a medida do arco AB por m(AB) e a medida do arco u por m(u), temos m(AB)=5 m(u).

Ø  A medida de um arco de circunferência é a mesma em qualquer um dos sentidos. A medida algébrica de um arco AB desta circunferência, é o comprimento deste arco, associado a um sinal positivo se o sentido de A para B for anti-horário, e negativo se o sentido for horário.

Unidade de medida de arcos

A unidade de medida de arco no SI é o radiano. Alem dessa, existem outras medidas muito utilizadas por técnicos, que são grau e o grado. Sendo este último não muito comum.

Radiano: Medida de um arco que tem o mesmo comprimento que o raio da circunferência na qual estamos medindo o arco. Assim o arco tomado como unidade tem comprimento igual ao comprimento do raio ou 1 radiano, que denotaremos por 1 rad.

Grau: Medida de um arco que corresponde a 1º/360° do arco completo da circunferência na qual estamos medindo o arco.

Grado: É a medida de um arco igual a 1º/400º do arco completo da circunferência na qual estamos medindo o arco.

EXEMPLOS

PROBLEMA 1: O ponteiro maior de um relógio mede aproximadamente 1 m. Em quanto tempo a ponta móvel desse ponteiro percorre em 3π metros?

Solução:

O ponteiro do relógio é equivalente ao raio da circunferência do próprio relógio. Então, a circunferência do relógio mede:

C_{circunferência} = 2πr = 2 . 3,14 . 1 = 6, 28 m

Sabemos que o ponteiro maior do relógio é o ponteiro dos minutos. Logo, ele dá uma volta completa na circunferência em 60 minutos e essa volta completa corresponde ao comprimento total da circunferência que é 6,28m. Assim:

60 min ---------- 6,28m

 x  min ---------- 3π m

Como 3π = 3 . 3,14 = 9,42m, temos:

60 min ---------6,28m

x min ----------9,42 m

Fazendo o produto dos meios igual ao produto dos extremos, vem:

6,28 x = 60 . 9,42

6,28x = 565,2

      x = 565,2/6,28

      x = 90 minutos = 1 h 30 min.

PROBLEMA 2: (CESGRANRIO) Um mecanismo liga o velocímetro (marcador de velocidade) a uma das rodas dianteiras de um automóvel, de tal maneira que, quando essa roda gira 72π.rad , uma engrenagem que compõe o velocímetro gira 2π.rad . Quando a roda gira 18π/5 rad, essa engrenagem gira quantos graus?

Solução:

Aplicando a regra de três simples, temos:

PROBLEMA 3: Determine em radianos a medida do ângulo formado pelos ponteiros de um relógio às 4 horas. 

 Solução:

Os ponteiros de um relógio estão ambos na direção dos números somente na hora exata. Após esse momento, o único a ficar na direção é o ponteiro dos minutos (grande). O relógio representa uma circunferência dividida em 12 partes iguais. Logo, cada número dista de um arco que mede 30º. 

Às 4h o menor ângulo central formado pelos ponteiros corresponde a    .

O maior corresponde a.

PROBLEMA 4: Determine.

Solução. O comprimento do arco “S” será o produto da medida do ângulo central em radianos pelo raio.

a) o comprimento de um arco de circunferência (em cm), sabendo que ela tem 12cm de raio e o ângulo central correspondente mede 20°. 

a)

  

b) o ângulo central (em radianos) correspondente a um arco de 15cm de comprimento, sabendo que ela tem raio de 20cm.

b) 

  

c) a medida do raio de uma circunferência (em cm), sabendo que nela um ângulo central de 15° corresponde a um arco de 30cm. 

c) 

 

APLICAÇÕES 

A Trigonometria é um ramo da matemática que trata das relações entre os lados e ângulos de triângulos (polígonos com três lados). A trigonometria plana lida com figuras geométricas pertencentes a um único plano, e a trigonometria esférica trata dos triângulos que são uma seção da superfície de uma esfera.

A trigonometria começa como uma matemática eminentemente prática para determinar distâncias que não podiam ser medidas diretamente. Serve à navegação, à agrimensura e à astronomia. Ao lidar com a determinação de pontos e distâncias em três dimensões, a trigonometria esférica amplia sua aplicação à física, à química e a quase todos os ramos da engenharia, em especial no estudo de fenômenos periódicos, como a vibração do som e o fluxo de corrente alternada.

Astrônomo

Desde a Antiguidade, os astrônomos estudam o movimento dos astros por meio de ângulos, ou mais precisamente, por meio da trigonometria. Esse conhecimento é muito usado para descrever os movimentos da Terra no espaço. Grande parte das teorias matemáticas que descrevem o movimento dos astros, sejam eles planetas, satélites, ou mesmo galáxias, exige um grande conhecimento de trigonometria.

Por exemplo, no caso da chamada astronomia esférica, ou astronomia de posição, são as direções nas quais os astros são vistos e as posições que ocupam sobre a esfera celeste, medidas unicamente em ângulos, que importam para determinar a posição de um astro.

Há séculos, a trigonometria contribuiu, muito também para a descrição das posições dos objetos na superfície da Terra, graças aos cálculos de longitude e latitude, medidas em graus. Atualmente, utilizando modernos aparelhos de GPS, podemos localizar pessoas e objetos, em qualquer ponto do planeta, com precisão de metros.

CURIOSIDADES

Os arcos trigonométricos

A Trigonometria, como outros ramos da Matemática, não foi obra de um só homem ou nação. [...] Deve-se lembrar que desde a época de Hiparco [século II a.C.] até os tempos modernos não havia coisas como razões trigonométricas. Os gregos, e depois deles os hindus e os árabes, usaram linhas trigonométricas. Essas a princípio tiveram a forma de cordas num círculo, [...] e coube a Ptolomeu [século II d.C.] associar valores numéricos (ou aproximações) às cordas. Para isso, duas convenções eram necessárias: algum esquema para subdividir a circunferência de um círculo e alguma regra para subdividir o diâmetro. A divisão de uma circunferência em 360 graus parece ter estado em uso na Grécia desde os dias de Hiparco, embora não se saiba bem como a convenção surgiu. Não é improvável que a medida de 360 graus tenha sido tomada da astronomia, onde o zodíaco fora dividido em doze “signos” ou 36 “decanatos”. Um ciclo de estações, de aproximadamente 360 dias, podia facilmente ser posto em correspondência com o sistema de signos zodiacais e decanatos, subdividindo cada signo em trinta partes e cada decanato em dez partes. Nosso sistema comum de medida de ângulos pode derivar dessa correspondência. Além disso, como o sistema babilônico posicional para frações era evidentemente superior às frações unitárias egípcias e às frações comuns gregas, era natural que Ptolomeu subdividisse seus graus em sessenta partes minutae primae, cada uma das quais era dividida em sessenta partes minutae secundae, e assim por diante. É das frases latinas que os tradutores usaram que provêm nossas palavras “minutos” e “segundos”. Sem dúvida, foi o sistema sexagesimal que levou Ptolomeu a subdividir o diâmetro de seu círculo trigonométrico em 120 partes; cada uma dessas ele subdividiu de novo em sessenta minutos e cada minuto de comprimento em sessenta segundos.

Sistema de Posicionamento Global (GPS)

O GPS (Global Positioning System) ou Sistema de Posicionamento Global foi desenvolvido pelo Departamento de Defesa norte-americano e destina-se a determinar a posição de um ponto na superfície da Terra. Para isso, é utilizado um aparelho receptor de sinais de rádio emitidos por satélites em orbita do planeta, que calcula as coordenadas da posição do ponto.

As coordenadas de um ponto sobre a Terra são dadas a partir de três referencias: o equador, a partir do qual se determina a latitude; o meridiano de Greenwich, a partir do qual se determina a longitude; e o nível do mar, em relação ao qual se estabelece a altitude do ponto. Assim, para localizar um ponto sobre a Terra, como, por exemplo, uma embarcação no mar, um avião, um caminhão de carga ou mesmo um aeroporto ou um acidente geográfico, basta saber a latitude, a longitude e a altitude em que se encontram.

O GPS baseia-se numa rede estações terrestres que continuamente transmitem dados posicionais por meio de sinais de rádio para um conjunto de 24 satélites artificiais, que dão duas voltas completas em torno da Terra por dia, a uma altitude de 500 km. As órbitas dos satélites foram escolhidas de modo que, de qualquer ponto da Terra, possam ser observados pelo menos 4 deles.

Os satélites, por sua vez, processam as informações recebidas das estações terrestres e, continuamente, retransmitem sinais de rádio, que são captados e processados pelo receptor de GPS, que dispõe de uma unidade de processamento capaz de decodificar em tempo real a informação enviada por cada satélite e calcular a posição. Cada satélite envia sinais de características diferentes em intervalos de 30 em 30 segundos e de 6 em 6 segundos. Uma determinação precisa de posição requer uma boa recepção dos vários tipos de sinais enviados.

O GPS utiliza técnicas de triangulação e cálculos trigonométricos que se assemelham muito aos mais tradicionais processos de localização, baseados em instrumentos convencionais com referenciais astronômicos, usados, por exemplo, por Cristóvão Colombo e outros grandes navegadores. Os grandes diferenciais são, sem dúvida, o controle da posição dos satélites, a transmissão de sinais de rádio e o processamento computadorizado do receptor.

Pra fins civis, o GPS fornece um grau de precisão de 100 m para latitude e longitude. Se considerarmos que 1 grau de latitude corresponde a um arco de aproximadamente 110 km, podemos dizer que o GPS fornece posições na superfície da Terra com precisão de décimos de milésimo, ou seja, 1 em 10.000. Já para fins militares e científicos, existem modos de operação do GPS que fornecem posições com precisão de 22 m para latitude e longitude. Isso significa que sistemas de segurança, como o de controle aéreo do SIVAM, na região amazônica, operam com uma precisão de centésimos de milésimo, graças à tecnologia do GPS.

Engenheiro aeronáutico

Quem se forma em Engenharia aeronáutica sai da faculdade com conhecimentos fundamentais para a elaboração de projetos de aeronaves – aviões comerciais, jatos supersônicos, helicópteros e até mesmo foguetes. Como nas demais engenharias, a Matemática é ferramenta essencial.

Para desenhar peças tridimensionais do motor ou da fuselagem de um avião, o engenheiro tem de entender de projeções. Para calcular a inclinação correta que as asas de uma aeronave devem ter para decolar e aterrissar de maneira segura, são necessários conhecimentos de trigonometria aliada aos modelos matemáticos que descrevem a sustentação de um avião no ar.

Além de participar da construção e da manutenção de peças mecânicas ou equipamentos eletrônicos na indústria aeronáutica, esse profissional tem também a alternativa de se especializar em tráfego aéreo. Seja na área que for, a Matemática faz parte constante de sua vida profissional.

Referências Bibliográficas

http://www.matematicamania.com.br/2015/circunferencia-trigonometrica-resumo/

http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/trigonom/trigo01.htm

http://cadernodigital102.blogspot.com.br/2011/02/razoes-trigonometricas-na.html

Fonte: professorwaltertadeu.mat.br/GABTrigonArcosangulos2010.doc

http://www.coladaweb.com/matematica/funcoes-trigonometricas

Fonte: YOUSSEF, Antonio Nicolau; FERNANDEZ, Vicente Paz; SOARES, Elizabeth. Matemática: Ensino Médio, vol. único. São Paulo: Scipione, 2011.

Fonte: BOYER, Carl. História da Matemática. Trad. Elza F. Gomide. São Paulo: Edgard Blucher, 1994. p. 116 e 121.